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一元二次方程的一般形式： (a≠0)，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

因此，一元二次方程必须满足以下3个条件：

① 方程两边都是关于未知数的等式

② 只含有一个未知数

③ 未知数的最高次数为2

如： ， 为一元二次方程，而像就不是一元二次方程。

二、 一元二次方程的特殊形式

（1）当b=0，c=0时，有： =0，∴ =0，∴x=0

（2）当b=0，0≠0时，有： ，∵a≠0，此方程可转化为：

①当a与c异号时， ，根据平方根的定义可知， ，即当b=0，c≠0，且a与c异号时，一元二次方程有两个不相等的实数根，这两个实数根互为相反数。

②当a与c同号时， ，∵负数没有平方根，∴方程没有实数根。

（3）当b≠0，c＝0时，有 ，此方程左边可以因式分解，使方程转化为x（ax+b）=0，即x=0或ax+b=0，所以x1=0，x2=-b/a。由此可见，当b≠0，c＝0时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，且两实数根中必有一个为0。

三、 一元二次方程解法：

1. 第一步：解一元二次方程时，如果给的不是一元二次方程的一般式，首先要化为一元二次方程的一般式，再确定用什么方法求解。

2. 解一元二次方程的常用方法：

（1）直接开方法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程中缺少一次项，是一个形如ax2+c=0的方程时，可以用此方法求解。

解法步骤：①把常数项移到等号右边， ；

②方程中每项都除以二次项系数， ；

③开平方求出未知数的值：

（2）因式分解法：把一元二次方程化为一般式后，如果方程左边的多项式可以因式分解的话，可以使用此方法求解。

解法步骤：①把方程的左边因式分解，转化为两个因式乘积的形式；

②令每个因式分别等于0，进而求出方程的两个根；

例：解关于x的方程：

解：把方程左边因式分解成：（x-m）（x+n）=0

∴x1=m，x2=n

（3）配方法：当一元二次方程化为一般式后，不能用直接开方和因式分解的方法求解时，可以使用此方法。

解法步骤：①若方程的二次项系数不是1，方程中各项同除以二次项系数，使二次项系数为1；

②把常数项移到等号右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④方程左边变成一个完全平方式，右边合并同类项，变为一个实数；

⑤方程两边同时开平方，从而求出方程的两个根；

例：解方程：

解：方程两边同除以3得：

移项，得：

∴

即：

∴ x+2=±√6

∴

（4）公式法：利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，适用于所有的一元二次方程。

求根公式：，其中a≠0。

解法步骤：①先把一元二次方程化为一般式；’

②找出方程中a、b、c等各项系数和常数值；

③计算出b2-4ac的值；

④把a、b、b2-4ac的值代入公式；

⑤求出方程的两个根；

例：解方程：

解：（1）方程中：a=1，b=-4，c=4

∴x={-（-4）±√0}/2×1=2，∴原方程根为

四、一元二次方程根的判别式

1.把△=b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx+c =0（a≠0）的根的判别式。

利用根的判别式可以判断根的情况：

（1）当△≥0时方程有两个实数根：

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的实数根；

（2）当△＜0时，方程无实数根。

例：关于x的一元二次方程 有实数根，求m的取值范围。

解：当m-1≠0时，即：m≠1时，该方程是关于x的一元二次方程。

∵ △≥0，即 =-28m+44≥0，解得：m≤11/7

∴ m的取值范围是m≤11/7且m≠1。

五、一元二次方程根与系数的关系：

1.定理：设一元二次方程 （a≠0且 ）的两个根分别为x1和x2，则：x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a

特别地：对于一元二次方程 ，根与系数的关系为：

x1+x2=-p，x1·x2=q

注：①此定理成立的前提是△≥0，也就是说方程必须有实根时才可以使用。

②此定理又叫韦达定理。

2.根与系数关系的应用举例：

练习1 解一元二次方程

1.用直接开方法解一元二次方程

① ② ③

④ ⑤

⑥

2.用因式分解法解一元二次方程

① ②

③ ④

⑤ ⑥

3.用配方法解一元二次方程

① ② ③

④ ⑤

⑥

4.用公式法解一元二次方程

① ②

③

④ ⑤

⑥

5.选择适当的方法解一元二次方程

① ② ③

④ ⑤

⑥

练习2 根与系数关系

一、填空题

二、选择题

三、解答题

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